O TEOREMA DE TALES

O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retas paralelas e as transversais.

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais

O TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos catetos.

Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a², b² e c².

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

Na geometria plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.

No entanto para nos assegurarmos de que dois triângulos são semelhantes podemos usar alguns critérios para semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. Com estes critérios não precisamos necessariamente conhecer os três ângulos e os três lados de cada triângulo. Se conhecermos dois ângulos ou dois lados e o ângulo entre eles ou três lados de cada triângulo podemos afirmar se estes triângulos são ou não semelhantes.

Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
Triângulo Acutângulo	Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo Obtusângulo	Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo	Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Medidas dos ângulos de um triângulo

Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulo

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:

a + b + c = 180º

Congruência de Triângulos

A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho

Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.

REGIÕES POLIGONAIS QUANTO À CONVEXIDADE

Região poligonal convexa: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal.

Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal.

Nomes dos polígonos

Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:

No. de lados	Polígono	No. de lados	Polígono
1	não existe	11	undecágono
2	não existe	12	dodecágono
3	triângulo	13	tridecágono
4	quadrilátero	14	tetradecágono
5	pentágono	15	pentadecágono
6	hexágono	16	hexadecágono
7	heptágono	17	heptadecágono
8	octógono	18	octadecágono
9	eneágono	19	eneadecágono
10	decágono	20	icoságono

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polígonos: triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e heptágono.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Ângulo	Lado oposto	Lado adjacente
C	c cateto oposto	b cateto adjacente
B	b cateto oposto	c cateto adjacente

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.

2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

Relações Métricas no triângulo retângulo

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.